ДЕЯКІ ЗАСТОСУВАННЯ ЧИСЕЛЬНОГО ОБЕРНЕННЯ ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА В ЗАДАЧАХ ПОШИРЕННЯ ХВИЛЬОВИХ КОЛИВАНЬ

Ігор Селезов

Ігор Селезов Інститут гідромеханіки НАН України

Ключові слова: перетворення Лапласа, чисельне обернення, IBV (початково-крайова задача), алгоритм, хвилі, динаміка, пульсовий тиск

Анотація

Розглянуто три алгоритми чисельного обернення перетворення Лапласа для розв’язання конкретних прикладних задач динаміки хвиль. Порівняння алгоритму, заснованого на зміщених поліномах Лаґера, зі стандартними розв’язками показує, що існує оптимальне число членів у розкладах. З розгляду різних алгоритмів, у тому числі сучасних, встановлено, що точність всіх алгоритмів чисельної інверсії зменшується зі збільшенням часу t (зі зменшенням параметра перетворення p в комплексній площині). Ці два висновки є наслідком некоректності проблеми перетворення Лапласа. Наведено застосування методу розкладання по дугах синусів до розв'язування початково-крайової задачі (IBV problem) дослідження поширення хвиль пульсового тиску в кровоносних судинах. Вона заснована на рівняннях циліндричної оболонки і кров'яного тиску і включає умови спряження на стику судин, збудження хвилі імпульсного тиску, її поширення до стику, відбиті і прохідні хвилі. Представлено застосування такого ж методу для задачі еволюції вільної поверхні хвиль на воді, обумовленої локальними донними джерелами збудження, які повторюються в часі.

Посилання

1. Carslaw H. S., Jaeger J. C. Operational methods in applied mathematics. Oxford: The Clarendon Press, 1941.
2. Doetsch T. Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplace-Transformation. Muenchen: R. Oldenbourg, 1956.
3. Lurie А. I. Operational calculus and its applications to problems of mechanics (in Russian). Moscow; Leningrad: Gos. Izd. Fiz.-Mat. Lit., 1960. 208 p.
4. Gnoenski L. S., Kamenski L. E., Elsgolz L. E. Mathematical foundation of the theory of controlled systems (in Russian). Moscow: Nauka, 1969. 512 p.
5. Krylov V. I., Skoblya N. S. Methods of approximate Fourier transform and inverting Laplace transform. Moscow: Nauka, 1974. 224 p.
6. Lanczos C. Applied analysis. New Jersey: Prentice Hall, 1956.
7. Papoulis A. A new method of inversion of the Laplace transform. Quart. Appl. Math. 1957. N 14. P. 405-414.
8. Selezov I., Fratamico G. Pulse waves in arteries with a vessel joint. Ed. M. Mela and G. Pallotti, Int. Summer School in Biophysics. (Italy, Bellaria Igea Marina, 9–16 September 1996). Italy, Bellaria Igea Marina, 1996. P. 89–94.
9. Timoshenko S., Woinowsky-Krieger S. Theory of plates and shells. McGraw-Hill Book Company, INC 1959.
10. Moodie E. B., Barday D. W., Tait R. T. A boundary value problem for fluid-filled viscoelastic tubes. Mathematical Model. 1983. N 4. P. 195–207.
11. Selezov I. T., Kuznetsov V. V., Chernikov D. O. Generation of surface gravity waves by bottom timerepetitive pulses. J. Math. Sci. 2010. 171, N 5. P. 596–602.
12. Schapery R. A. Approximate methods of transform inversion for viscoelastic stress analysis. Proc. 4th U.S. Nat. Congr. Appl. Mech. 1962. P. 1075–1085.
13. Selezov I. T., Korsunski S. V. Numerical inverting Laplace transform based on Fourier-Bessel expansions (in Russian). Dokl. Acad. Nauk UkrSSR, Ser. A. 1988. N 11. P. 25–28.
14. Tikhonov А. N., Arsenin V. J. Methods of solution of ill-posed problems (in Rissian). Moscow: Nauka, 1986. 288 p.
15. Miller M. K., Guy W. T. Numerical inversion of the Laplace transform by use of Jacobi polynomials. SIAM J. Numer. Analysis. 1966. 3. P. 624–635.
16. Weeks W. T. Numerical inversion of Laplace transforms using Laguerre functions. J. Assoc. Comput. Math. 1966. 13. P. 419–426.
17. Vilge J. I., Zakharov E. V. To calculation of nonstationary acoustic field in slit by the method of numerical inversing Laplace transform (in Russian). Collection chisl. Metody in geophys. 1978. N 1. P. 102–107.
18. Bellman R., Lockett R. E., Kalaba J. A. Numerical inversion of the Laplace transform: applications to biology, economics and physics. Amsterdam, Elsevier 1966.
19. Honig G., Hirdes U. A method for the numerical inversion of Laplace transform. J. Comp. App. Math. 1984. 10, N 1. P. 113–132.
20. Sherief H. H., Youssef H. M. Short time solution for a problem in magnetothermoelasticity with thermal relaxation. J. Thermal stresses. 2004. 27 (6). P. 537–559. 21. Abate J., Whitt, W. A unified framework for numerically inverting Laplace transforms. INFORMS J. on Computing. 2006. 18, N 4. P. 408–421.
22. Selezov I. Т., Kryvonos Ju. G. Modeling medicine propagation in tissue: generalized statement. Cybernetics and Systems Analysis. 2017. 53, № 4. P. 535–542. DOI: 10.1007/s10559-017-9955-1.