ФУНДАМЕНТАЛЬНІ РОЗВ’ЯЗКИ ВИЗНАЧАЛЬНОЇ СИСТЕМИ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ МАТЕМАТИЧНОЇ ТЕОРІЇ ПЛАСТИН

Анотація

Дослідження локального навантаження тонкостінних елементів проводились рядом авторів. Фундаментальні розв’язки крайових задач будувались за допомогою методу інтегрального перетворення Фур’є, яке було застосовано безпосередньо до системи диференціальних рівнянь граничної зони або до системи, що враховувала деформації поперечного зсуву. Такий підхід, з одного боку, призводив до складних математичних викладок, а з іншого боку, як відомо, в області дії локальних навантажень виникає суттєво просторовий напружений стан, і фізичні теорії в принципі не можуть його описувати достатньо точно. У нашому дослідженні визначаються частинні розв’язки задач згину нетонких трансверсально- ізотропних пластин з кососиметричним локальним навантаженням відносно серединної площини. Для цього був використаний варіант математичної теорії, який базується на позиції використання тривимірної теорії пружності. Згідно з цією теорією усі компоненти переміщень (як функції трьох незалежних змінних ) апроксимуються розкладаннями Фур’є-Лежандра за поперечною координатою . Інші компоненти напружено-деформованого стану і граничні умови на бічній поверхні пластини також залежать від трьох координат і теж зображуються у вигляді розкладань за допомогою поліномів Лежандра. Перехід від тривимірних крайових задач до двовимірних здійснюється за допомогою варіаційного принципу Рейснера. На відміну від інших варіантів математичної теорії спосіб отримання основних рівнянь побудовано таким чином, що умови на граничних площинах у будь-яких наближеннях виконуються абсолютно точно. Це суттєва перевага перед іншими теоріями; яка підвищує точність розв’язування граничних задач. Розроблено метод, який дозволяє побудувати фундаментальні розв’язки визначальної системи неоднорідних диференціальних рівнянь (перетвореної системи диференціальних рівнянь рівноваги) варіанта математичної теорії трансверсально-ізотропних пластин довільної сталої товщини. Напружено-деформований стан при локальному навантаженні описується саме системами неоднорідних диференціальних рівнянь. В роботі розглянуто визначальні системи рівнянь у другому і третьому наближеннях у рядах для переміщень при кососиметричному навантаженні відносно серединної площини. В другому (третьому) наближенні система диференціальних рівнянь має восьмий (дванадцятий) порядок відносно двох (трьох) функцій (складових поперечних переміщень). Методом операторних перетворень вони зводяться до зручних розв’язувальних неоднорідних диференціальних рівнянь восьмого (дванадцятого) порядку стосовно нових функцій. В цих рівняннях ліві частини однакові, а праві дорівнюють , де – механіко-геометричні параметри пластини, – оператор Лапласа, – локальна поперечна сила, що діє в початку координат, – двовимірна функція Дірака. Знаходження фундаментального розв’язку кожного отриманого неоднорідного диференціального рівняння високого порядку з частинними похідними зведено до визначення операторів від лінійної комбінації фундаментальних розв’язків неоднорідних диференціальних рівнянь низького порядку, а саме: рівняння Пуассона, неоднорідного бігармонічного рівняння, двох неоднорідних рівнянь Гельмгольца (рівняння Пуассона, неоднорідного бігармонічного рівняння і чотирьох неоднорідних рівнянь Гельмгольца). Праві частини цих рівнянь однакові і дорівнюють . Фундаментальні розв’язки кожного диференціального рівняння невисокого порядку отримуються з частинних розв’язків аналогічних рівнянь, праві частини яких дорівнюють , де – рівномірно розподілене навантаження, – радіус кола навантаження. Частинні розв’язки шукаються методом інтегрального перетворення Ханкеля. Побудовані фундаментальні розв’язки визначальної системи рівнянь, які узагальнені для полюса в довільній точці. Запропонований метод пошуку фундаментальних розв’язків може бути використаний для інших систем диференціальних рівнянь з частинними похідними розглянутого класу. Отримані фундаментальні розв’язки визначальних рівнянь математичної теорії пластин дають можливість визначати частинні розв’язки диференціальних рівнянь у граничних задачах згину пластин довільної сталої товщини при будь-яких поперечних навантаженнях.