ЗАСТОСУВАННЯ БІПОЛЯРНОЇ СИСТЕМИ КООРДИНАТ ДО МОДЕЛЮВАННЯ ДИНАМІКИ ДВОХ КОАКСІАЛЬНИХ ОБОЛОНОК У ПРУЖНОМУ СЕРЕДОВИЩІ

Анотація

У роботі розглянуто динаміку двох коаксіальних циліндричних оболонок у лінійно-пружному, однорідному, ізотропному та інерційному середовищі. вивчається випадок, коли імпульсивне навантаження діє по нормалі до внутрішньої поверхні однієї оболонки, а інша оболонка вільна від напружень. Контакт між оболонками та середовищем припускається ковзним. Досліджується взаємний вплив оболонок на динамічний напружено-деформований стан даної механічної системи. У цій статті припускається, що навантаження рівномірно розподілене вздовж осьової координати, тобто не залежить від неї, тому початкова задача зводиться до плоскої задачі теорії пружності. Також робиться припущення, що навантаження діє симетрично відносно лінії, яка сполучає центри порожнин, що підкріплені оболонками. Тому вздовж цієї лінії можна зробити розріз, який потім буде враховано за допомогою граничних умов. Для розв’язання задачі використовується біполярна система координат (БСК), застосування якої дало можливість відобразити півпростір з порожниною, який моделює задачу, у прямокутник скінчених розмірів. Оскільки БСК є ортогональною системою координат, тому в ній справедливі рівняння руху, співвідношення Коші, закон Гука. Тому для отримання виразів для напружень через переміщення у БСК співвідношення Коші було підставлено у закон Гука. Після підстановки отриманих виразів у рівняння руху було отримано динамічні рівняння теорії пружності в БСК у переміщеннях, які використано для опису руху середовища. Для опису руху оболонки використані класичні рівняння теорії тонких оболонок, які задовольняють гіпотезі Кірхгофа-Лява, які отримано в БСК. Оскільки динамічні рівняння теорії пружності містять досить складні змінні коефіцієнти, тому в роботі запропоновано чисельний підхід до розв’язання задачі. Цей підхід ґрунтується на методі скінченних різниць за просторовими змінними. Розв’язок динамічної задачі отримано за допомогою ітераційного θ-метода Вілсона, який дозволяє звести початкову задачу до послідовності квазістатичних задач. На основі отриманих результатів встановлено, що для випадку, коли відстань між оболонками понад їх п’ять радіусів, величина їх взаємного впливу на динамічний напружено-деформований стан розглянутої системи є незначним. Отримані результати та розроблені методи можуть бути застосовані при розрахунках підземних споруд, зокрема тунелів метрополітену та підземних трубопроводів.