УМОВИ ПЕРЕКРИТТЯ В ОДНІЙ НЕСКІНЧЕННІЙ МНОЖИНІ ГІПЕРПАРАЛЕЛЕПІПЕДІВ В ЕВКЛІДОВОМУ АРИФМЕТИЧНОМУ ПРОСТОРІ І СКІНЧЕННА МІРА ЛЕБЕГА ЇХ ОБ’ЄДНАННЯ

В. В. Романюк

В. В. Романюк Хмельницький національний університет

Ключові слова: нескінченна множина гіперпаралелепіпедів, об’єднання, перекриття, скінченна лебегова міра

Анотація

Розглядається нескінченна множина гіперпаралелепіпедів в арифметичному евклідовому просторі. Кожен гіперпаралелепіпед замкнутий. Він визначається за п’ятьма параметрами. Ними є порядковий номер послідовності та четвірка додатних цілих чисел, що дають два чисельники і два знаменники двох дробів. Ці дроби є такими, що чисельник завжди менший за знаменник. Один дріб віднімається від порядкового номера послідовності, інший — додається до цього номера. Знаменники підносяться до степеня, яким є той же порядковий номер послідовності. Для дослідження знаходиться об’єднання даних гіперпаралелепіпедів. Мета полягає у з’ясуванні того, чи є звичайна лебегова міра об’єднання гіперпаралелепіпедів скінченною, і, якщо вона скінченна, необхідно її обчислити. Крім того, ставиться завдання знайти всякі перекриття у нескінченній множині гіперпаралелепіпедів за обмежень, що накладаються на дробі. Спочатку викладаються концепції перекриття і відсутності перекриття. Перекриття і відсутність перекриття розуміються на різних рівнях. Кількість цих рівнів визначається розмірністю арифметичного евклідового простору. Проте по відсутності перекриття не можна точно визначити наявність перекриття в нижчих розмірностях. Відсутність перекриття сприймається на такому рівні, де маються на увазі простіші випадки підмножин, котрі не перекриваються, що відповідає вищим розмірностям. Відповідно відсутність перекриття визначається не по всіх рівнях, а лише на основному рівні, який неможливо визначити десь в іншому місці. Умови того, коли перекриття існує, далі викладаються в чотирьох теоремах. Виявляється, що може бути лише одне перекриття, і лише два перші гіперпаралелепіпеди можуть перекриватися. Звичайна лебегова міра об’єднання гіперпаралелепіпедів завжди є скінченною. І для випадку відсутності перекриття, і для випадку перекриття наводяться дві формули, за якими обчислюється ця міра. У висновку згадується про три випадки, де кожен гіперпаралелепіпед є відкритим або напіввідкритим. У цих випадках гіперпаралелепіпеди не можуть перекриватися лише в одній точці. Проте формули для обчислення міри залишаються в силі.

Посилання

1. Vazirani V. V. Approximation Algorithms / V. V. Vazirani. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2003. — 380 p.
2. Korte B. Combinatorial Optimization: Theory and Algorithms (5 ed.) / B. Korte, J. Vygen. — Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2012. — 660 p.
3. Gao C. An efficient local search heuristic with row weighting for the unicost set covering problem / C. Gao, X. Yao, T. Weise, J. Li // European Journal of Operational Research. — 2015. — Volume 246, Issue 3. — P. 750 — 761.
4. Zhang Y.-L. Relationships between generalized rough sets based on covering and reflexive neighborhood system / Y.-L. Zhang, C.-Q. Li, M.-L. Lin, Y.-J. Lin // Information Sciences. — 2015. — Volume 319. — P. 56 — 67.
5. Al-Shihabi S. An improved hybrid algorithm for the set covering problem / S. Al-Shihabi, M. Arafeh, M. Barghash // Computers & Industrial Engineering. — 2015. — Volume 85. — P. 328 — 334.
6. Ashik Mathew K. On hypercube packings, blocking sets and a covering problem / K. Ashik Mathew, P. R. J. Östergård // Information Processing Letters. — 2015. — Volume 115, Issue 2. — P. 141 — 145.
7. Agora E. Multi-tiling sets, Riesz bases, and sampling near the critical density in LCA groups / E. Agora, J. Antezana, C. Cabrelli // Advances in Mathematics. — 2015. — Volume 285. — P. 454 — 477.
8. Ciucu M. Proof of two conjectures of Ciucu and Krattenthaler on the enumeration of lozenge tilings of hexagons with cut off corners / M. Ciucu, I. Fischer // Journal of Combinatorial Theory. — 2015. — Series A, Volume 133. — P. 228 — 250.
9. Городецкий В. В. Методы решения задач по функциональному анализу : [учеб. пособие] / В. В. Городецкий, Н. И. Нагнибида, П. П. Настасиев. — К. : Выща школа, 1990. — 479 с.