ЕВОЛЮЦІЙНИЙ ПІДХІД ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЕЛІПТИЧНИХ РІВНЯНЬ

Л. П. Вакал; Є. С. Вакал

Л. П. Вакал Інститут кібернетики імені В. М. Глушкова
Є. С. Вакал Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Ключові слова: диференціальні рівнняння в частинних похідних, чебишівське наближення, похибка наближення крайових умов, алгоритм диференціальної еволюції, цільова функція, оптимальні значення параметрів

Анотація

У роботі запропоновано еволюційний підхід до розв’язання крайових задач для диференціальних рівнянь еліптичного типу. Він ґрунтується на застосуванні алгоритму диференціальної еволюції. Згідно із цим підходом, замість точного розв’язку задачі, розглядають близьку до нього функцію, яка при будь-яких значеннях параметрів, що входять у неї, точно задоволь- няє диференціальне рівняння. Найкращі значення невідомих параметрів визначаються так, щоб похибка наближення крайових умов була мінімаль- ною в чебишівській нормі. Одна із суттєвих переваг застосування найкра- щих чебишівських наближень при розв’язанні крайових задач для рівнянь еліптичного типу полягає в можливості оцінити похибку наближеного розв’язку першої крайової задачі в усій ділянці на основі похибки апрокси- мації на її границі. Задача мінімізації похибки розглядається як оптиміза- ційна задача, для її розв’язання застосовується алгоритм диференціальної еволюції. Такий підхід дає змогу розв’язувати як лінійні, так і нелінійні задачі без унесення змін і залучення чисельних методів. Можливі розв’язки задачі мінімізації представляються в алгоритмі у вигляді популяції векто- рів, компонентами яких є значення параметрів. У кожному поколінні попу- ляції для вектора-мішені створюється мутантний вектор. Над ним вико- нується операція схрещування з метою отримання пробного вектора. Далі проводиться селекція. Якщо значення цільової функції пробного вектора менше, ніж у вектора-мішені, то він заміняє його в наступному поколінні. Алгоритм завершується, якщо досягнуто задане максимальне число поко- лінь або відбувається стагнація еволюційного процесу. Алгоритм реалізо- вано засобами системи Matlab. Надано рекомендації щодо вибору значень основних параметрів налаштування алгоритму (розміру популяції, коефі- цієнтів мутації та схрещування). Проведено обчислювальний експеримент із розв’язання за допомогою алгоритму низки крайових задач. Наведено результати для лінійної задачі про скрут-балки й модельної крайової задачі для нелінійного диференціального рівняння з лінійними крайовими умо- вами. Обчислювальний експеримент підтвердив ефективність застосу- вання запропонованого алгоритму для розв’язання крайових задач.

Посилання

1. Abu-Arqub O., Abo-Hammour Z. Numerical solution of systems of second-order boundary value problems using continuous genetic algorithm. Information Sciences. 2014. Vol. 279. P. 396–415.
2. Vakal L.P. Using genetic algorithm for solving boundary value problems. Journal of Automation and Information Sciences. 2015. Vol. 47. № 8. P. 52–62. URL: https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v47.i8.50.
3. Вакал Л.П. Генетичні алгоритми як інструмент розв’язання нелінійних крайових задач. Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2015. № 14. С. 16–23.
4. Biologically inspired computing framework for solving two-point boundary value problems using differential evolution / M.F. Fateh, А. Zameer, N.M. Mirza, S.M. Mirza, M.A.Z. Raja. Neural Computing and Applications. 2017. Vol. 28. P. 2165–2179. URL: https://doi.org/10.1007/s00521-016-2185-z.
5. Вакал Л.П., Вакал Є.С. Розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь за алгоритмом диференціальної еволюції. Математичні машини і системи. 2020. № 1. С. 43–52.
6. Storn R., Price K. Differential evolution – a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces. Journal of Global Optimization. 1997. Vol. 11. P. 341–35.
7. Перестюк М.О., Маринець В.В. Теорія рівнянь математичної фізики. Київ : Либідь, 2001. 336 с.
8. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Москва : Из-во иностр. лит., 1953. 460 с.
9. Коллатц Л., Крабс В. Теория приближений. Чебышевские приближения. Москва : Наука, 1978. 272 с.
10. Ремез Е.Я. Основы численных методов чебышевского приближения. Киев : Наук. думка, 1969. 623 с.
11. Каленчук-Порханова А.О., Вакал Л.П. Побудова найкращих рівномірних наближень функцій багатьох змінних. Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2007. № 6. С. 141–148.
12. Vakal L.P. Solving uniform nonlinear approximation problem using continuous genetic algorithm. Journal of Automation and Information Sciences. 2016. Vol. 48. № 6. P. 49–59. URL: https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v48.i6.50.
13. Вакал Л.П. Апроксимація функцій багатьох змінних із застосуванням алгоритму диференціальної еволюції. Математичні машини і системи. 2017. № 1. С. 90–96.
14. Vakal L.P. Seeking Optimal Knots for Segment Approximation. Journal of Automation and Information Sciences. 2016. Vol. 48. № 11. P. 68–75. URL: https://doi.org/10.1007/s00521-016-2185-z.
15. Вакал Л.П., Вакал Є.С. Знаходження оптимальних параметрів емпіричних формул декількох змінних за допомогою еволюційних алгоритмів. Математичні машини і системи. 2018. № 3. С. 109–116.
16. Використання математичного пакета Matlab для розв’язування прикладних задач / Б.П. Довгий, Є.С. Вакал, Ю.Є. Вакал, А.В. Попов. Київ : Фітосоціоцентр, 2012. 78 с.
17. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. Москва : Мир, 1969. 447 с.
18. Вакал Л.П. Розв’язання крайових задач з використанням програмних засобів чебишовських наближень. Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2010. № 9. С. 47–53.