АСИМПТОТИЧНИЙ АНАЛІЗ НАПРУЖЕНО-ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ БІЛЯ ВЕРШИНИ МІЖФАЗНОЇ ТРІЩИНИ, ЩО ВИХОДИТЬ ІЗ КУТОВОЇ ТОЧКИ ЛАМАНОЇ МЕЖІ РОЗДІЛУ МАТЕРІАЛІВ

М. В. Дудик; Ю. В. Решітник; В. М. Феньків

М. В. Дудик Уманський державний педагогічний університет імені Павла Тичини
Ю. В. Решітник Уманський державний педагогічний університет імені Павла Тичини
В. М. Феньків Уманський державний педагогічний університет імені Павла Тичини

Ключові слова: міжфазна тріщина, ламана межа розділу, метод Віґгардта-Вільямса, показники сингулярності, контакт берегів

Анотація

У статті в умовах плоскої деформації досліджуються локальні поля напру- жень і переміщень біля кутової точки ламаної межі розділу двох різних однорідних ізотропних матеріалів, із якої виходить міжфазна тріщина. Моделюючи тріщину математичним розрізом, береги якого вільні від навантажень, за допомогою методу Віґгардта-Вільямса розвинень розв’яз- ків рівнянь теорії пружності за власними функціями, знайшли асимпто- тичні вирази для компонент градієнтів переміщень і тензора напружень біля вершини тріщини. Отримано характеристичне рівняння для визна- чення показників сингулярності напружень в околі вершини. Здійснено числовий аналіз залежності показників сингулярності від кута зламу межі розділу й відношення модулів Юнга з’єднаних матеріалів і виявлено існу- вання інтервалів кутів зламу, на яких мають місце два комплексно спря- жені показники сингулярності. Оскільки наслідком комплексних значень показників сингулярності є просторові осциляції переміщень берегів з фізично некоректним взаємним перетином, для їх усунення передбачено можливість контакту берегів та отримано наближену оцінку довжини ділянки контакту за найбільшою з відстаней до вершини в межах розмірів тріщини, на якій розкриття тріщини обертається в нуль. Ураховуючи можливий контакт берегів, за допомогою методу Віґгард- та-Вільямса розв’язали задачу про міжфазну тріщину із взаємодіючими за законом сухого тертя берегами, яка поширюється з кутової точки лама- ної межі розділу матеріалів. Отримано рівняння для визначення показ- ників сингулярності біля точки зламу межі розділу й аналітичні вирази для асимптотик полів напружень і переміщень у її околі. Показано, що наявність контакту берегів усуває можливі просторові осциляції перемі- щень берегів у рамках моделі розкритої міжфазної тріщини. Проте й у рамках моделі тріщини з контактуючими берегами виявлено інтервали кутів зламу межі розділу, для яких залежно від напряму зсувних перемі- щень берегів тріщини мають місце комплексні показники сингулярності.

Посилання

1. Theocaris P.S., Gdoutos E.E. Stress singularities in cracked composite full-planes. Int. J. Fract. 1977. Vol. 13. № 6. P. 763–773.
2. Махоркін М., Сулим Г. Асимптотики і поля напружень у клиновій системі за умов антиплоскої деформації. Машинознавство. 2007. № 1. С. 8–13.
3. Carpinteri A., Paggi M. Analytical study of the singularities arising at multi-material interfaces in 2D linear elastic problems. Eng. Fract. Mech. 2007. Vol. 74. P. 59–74.
4. Djoković J.M., Nikolić R.R., Ulewicz R., Hadzima B. Interface crack approaching a three-material joint. Appl. Sci. 2020. Vol. 10. P. 416.
5. Linkov A.M., Koshelev V.F. Multi-wedge points and multi-wedge elements in computational mechanics: evaluation of exponent and angular distribution. Int. J. Solids and Structures. 2006. Vol. 43. P. 5909–5930.
6. Luo Y., Subbarayan G. A study of multiple singularities in multi-material wedges and their use in analysis microelectronic interconnect structures. Eng. Fract. Mech. 2007. Vol. 74. P. 416–430.
7. Pageau S.S., Gadi K.S., Biggers S.B., Joseph P.F. Standardized complex and logarithmic eigensolutions for n-material wedges and junctions. Int. J. Eng. Fract. 1996. Vol. 77. P. 51–76.
8. Вальшенбаум В.М., Гольдштейн Р.В., Холмянский М.Л. Плоская задача о трещине на границе соединения двух упругих клиньев. Механика тв. тела. 1980. № 5. С. 77–85.
9. Srivastava K.N., Choudhary A., Palaiya R.M. Mellin transform technique for solving Griffith crack problem at the interface of two bonded dissimilar wedges. Indian J. of Pure and Appl. Mathematics. 1979. Vol. 10. № 2. P. 147–157.
10. Srivastava K.N., Palaiya R.M., Choudhary A. On a Griffith crack at the interface of two bonded dissimilar elastic wedges. Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. 1979. Vol. 59. № 11. P. 643–646.
11. Wieghardt K. Über das spalten und zerreißen elastischer Körper. Z. Math. Phys. 1907. B. 55. S. 60–103.
12. Williams M. L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in extension. Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1952. Vol. 19. № 4. P. 526––535.
13. Williams M. L. The stresses around a fault or crack in dissimilar media. Bulletin of the Seismological Society of America. 1959. Vol. 49. P. 199–204.
14. Erdogan F. Stress distribution in bonded dissimilar materials with cracks. Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1965. Vol. 32. № 2. P. 403–410.
15. Дудик М.В. Дослідження напружено-деформованого стану біля кутової точки межі поділу матеріалів, з якої виходить міжфазна тріщина. Вісник Тернопільського нац. техн. ун-ту. 2014. № 3 (75). С. 87–98.
16. Rice J.R. Elastic fracture mechanics concepts for interfacial cracks. Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1988. Vol. 55. № 3. P. 98–103.
17. Гузь А.Н. О физически некорректных результатах механики разрушения. Прикладная механика. 2009. Т. 45. № 10. С. 4–21.
18. Comninou M. Interface crack with friction in the contact zone. Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1977. Vol. 44. P. 780–781.
19. Каминский А.А., Кипнис Л.А. О комплексной модели зоны предразрушения в конце трещины на границе раздела упругих сред. Доповіді НАН України. 2010. № 2. С. 59–63.
20. Каминский А.А., Кипнис Л.А. О страгивании трещины, расположенной на границе раздела упругих сред. Доповіді НАН України. 2011. № 1. С.38-43.
21. Дудик М.В., Діхтяренко Ю.В. Розвиток зони передруйнування від міжфазної тріщини у кутовій точці межі розділу двох пружних середовищ. Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2011. Т. 54. № 2. С. 103–114.
22. Дудик М.В., Діхтяренко Ю.В. Дослідження початкового етапу повороту міжфазної тріщини у кутовій точці межі поділу середовищ. Фіз.-хім. механіка матеріалів. 2011. Т. 47. № 5. С. 53–59.
23. Дудик М.В., Діхтяренко Ю.В. Дослідження впливу пластичності матеріалів на міцність композитного з’єднання. Мат. методи та фіз.-мех. поля. 2013. Т. 56. № 1. С. 71–83.