МЕТОД НАПІВДИСКРЕТИЗАЦІЇ ДЛЯ ОПТИМІЗАЦІЇ ПРОГРАМНОГО УПРАВЛІННЯ СИСТЕМАМИ З РОЗПОДІЛЕНИМИ ПАРАМЕТРАМИ

Анотація

У статті розглянуто використання методу напівдискретизації для оптимізації програмного управління системами з розподіленими параметрами. Метою методу напівдискретизації (також відомого як метод прямих) у статті є не розв’язування початково-крайової задачі, що становить систему з розподіленими параметрами, а зведення цієї початково-крайової задачі до початкової задачі, що становить дискретну апроксимацію досліджуваної розподіленої системи, для подальшого розв’язування задачі оптимізації програмного управління відомими методами, наприклад, на основі принципу максимуму Понтрягіна. Оптимізація процесу нагрівання плоскої стінки з урахуванням обмежень міцності розглядається як приклад використання запропонованого підходу. У цьому прикладі необхідно визначити програму нагріву, яка дасть змогу збільшити температуру плоскої стінки від нижчого заданого значення до більшого заданого значення протягом мінімального часу з урахуванням обмежень міцності, щоб виключити руйнування цієї плоскої стінки через температурні напруження, що виникають у процесі нагріву внаслідок різних температур на крайових поверхнях. Розглядається випадок програми управління температурою нагрівання на одній крайній поверхні й ураховується теплова ізоляція іншої крайньої поверхні плоскої стінки. Теплопровідність розглядається як нестаціонарний розподілений уздовж товщини плоскої стінки процес, математична модель якого представлена відомим рівнянням теплопровідності, яке є диференціальним рівнянням у частинних похідних, що має розглядатися з необхідними початковими й граничними умовами. Методом напівдискретизації одержано дискретну апроксимацію рівняння теплопровідності плоскої стінки та сформульовано задачу щодо керованості відповідної системи звичайних диференціальних рівнянь. Для розв’язання цієї задачі керованості введено додаткове диференціальне рівняння для управління й за результатами багаторазового інтегрування відповідних звичайних диференціальних рівнянь визначено оптимальну програму нагрівання плоскої стінки.