ДИНАМІКА ПРУЖНИХ СИСТЕМ З РУХОМИМ ІНЕРЦІЙНИМ НАВАНТАЖЕННЯМ: МЕХАНІЧНІ, МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ, ЇХ ОСОБЛИВОСТІ ТА ДОСЛІДЖЕННЯ

Анотація

Відомо, що метод Фур’є належить до методів математичної фізики, які дають можливість отримати розв’язки певного класу диференціальних рівнянь у частинних похідних. Лише у порівняно простих випадках маємо можливість побудувати явні розв’язки рівнянь у частинних похідних як суми часткових розв’язків у вигляді добутку відокремлених функцій. До таких рівнянь належать рівняння коливань струни, мембрани, балки та деякі інші. Пряме застосування такого методу до задач динаміки пружних систем з рухомим інерційним навантаженням у загальному випадку не є можливим. У зв’язку з цим зроблені спроби застосування цього методу шляхом його модифікації та узагальнення. Однією з перших відомих публікацій була праця H. Steuding [10], у якій показано, що загальний розв’язок диференціального рівняння у частинних похідних, яке описує пружні коливання об’єкта за дії рухомого інерційного навантаження, являє лінійну комбінацію часткових розв’язків, які містять як симетричні, так і антисиметричні, зсунуті по фазі на прямий кут, форми коливань. Причому антисиметричні форми коливань обумовлені наявністю змішаної похідної непарної за часом, тобто силами інерції Коріоліса рухомого навантаження, і зв’язані через них з симетричними формами. Симетричні ж форми коливань при нерухомому навантаженні являють собою власні форми коливань навантаженої системи. Власне робота [10] започаткувала метод двохвильового подання коливань пружних систем за дії рухомого інерційного навантаження, фізична інтерпретація якого вперше була наведена О. О. Горошком [2]. При застосуванні до дослідження таких систем методу двохвильового подання коливань, який дозволяє у деяких випадках отримати точні розв’язки задач, загальний розв’язок дифе-ренціального рівняння подається у вигляді суми двох рядів, один з яких являє собою класичну частину розв’язку, а другий ту частину, яка обумовлена наявністю змішаної непарної за часом похідної, а саме – інерційністю рухомого навантаження, і не виявляється при традиційному застосуванні прямих методів математичної фізики. Форми першої групи названі власними формами, а форми другої групи – супровідними формами коливань пружної системи. Супровідні коливання обумовлені і нетривіальні лише за наявності рухомого інерційного навантаження. У роботі розглянуто головні особливості математичних моделей задач динаміки пружних об’єктів за дії рухомого інерційного навантаження. Як приклад, застосовуючи метод двохвильового подання, досліджено коливання і стійкість натягнутої мембрани за дії розподіленого рухомого інерційного навантаження. За дії рівномірно розподіленого рухомого навантаження виявлена нова якість руху мембрани, яка не виявляється прямими методами математичної фізики, а саме – наявність другої критичної швидкості руху інерційного навантаження.