ПРО ОДИН ПІДХІД ДО ВИРІШЕННЯ ЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ У ЧАСТИННИХ ПОХІДНИХ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

Анотація

Запропоновано новий підхід до вирішення систем лінійних дифе-
ренціальних рівнянь у частинних пох

Запропоновано новий підхід до вирішення систем лінійних дифе-
ренціальних рівнянь у частинних похідних першого порядку. Використовуються методи одночасного приведення декількох матриць до діагонального або до блочно-діагонального вигляду шляхом застосування методу комутуючої матриці. Цей метод полягає в знаходженні в безлічі всіх матриць, комутуючих із заданими матрицями початкової системи диференціальних рівнянь, такої матриці, яка має як мінімум два різні власні значення.

Якщо система диференціальних рівнянь містить матриці другого порядку, кількість яких більше двох, то за умови існування комутуючої матриці наведена система диференціальних рівнянь поділяється на два незалежні лінійні диференціальні рівняння першого порядку і, таким чином, завжди має аналітичний розв’язок.

У випадку, коли порядок матриць вихідної системи більше двох, за допомогою матричного методу можна привести вихідні матриці порядку  до блочно-діагональної форми, тобто розділити початкову систему на дві підсистеми. Надалі застосовується той самий метод комутуючої матриці для отриманих підсистем. Якщо отримані підсистеми далі не поділяються на підсистеми, то навіть у такому вигляді завдання значно спрощене.ідних першого порядку. Використовуються методи одночасного приведення декількох матриць до діагонального або до блочно-діагонального вигляду шляхом застосування методу комутуючої матриці. Цей метод полягає в знаходженні в безлічі всіх матриць, комутуючих із заданими матрицями початкової системи диференціальних рівнянь, такої матриці, яка має як мінімум два різні власні значення.

Якщо система диференціальних рівнянь містить матриці другого порядку, кількість яких більше двох, то за умови існування комутуючої матриці наведена система диференціальних рівнянь поділяється на два незалежні лінійні диференціальні рівняння першого порядку і, таким чином, завжди має аналітичний розв’язок.

У випадку, коли порядок матриць вихідної системи більше двох, за допомогою матричного методу можна привести вихідні матриці порядку  до блочно-діагональної форми, тобто розділити початкову систему на дві підсистеми. Надалі застосовується той самий метод комутуючої матриці для отриманих підсистем. Якщо отримані підсистеми далі не поділяються на підсистеми, то навіть у такому вигляді завдання значно спрощене.