TIMOSHENKO EQUATION, VIOLATION OF CONTINUITY  AND SOME APPLICATIONS

І. Т.  Селезов

І. Т. Селезов Інститут гідромеханіки НАНУ

Ключові слова: рівняння Тимошенка, гіперболічність, порушення суцільності, пружна основа, довжина хвилі, частота, евклідовий простір

Анотація

Досліджено модель Тимошенка згинних коливань балки, що включає спочатку загальні міркування і перехід від n-мірного евклідова простору до 4-мірного простору відносно просторових координат і часу . На основі математичного підходу рівняння Тимошенка одержано без коректуючого коефіцієнта (коефіцієнт зсуву) як окремий випадок більш загального розширеного рівняння. Досліджено задачу впливу рідини як окремий випадок пружної основи в пластині Тимошенка. Показано, що будь-яке середовище, що контактує з пластиною нівелює ефект зсуву. Відмічено порушення суцільності, яке раніше не розглядалося. Дослідження, основані на моделі Тимошенка, представлялись для балки на пружній основі. У випадку прямокутного виду поперечного перерізу виникає інша задача, пов’язана з появою відбитих хвиль. З розв’язку задачі досліджується фазова швидкість у випадку коротких довжин хвиль (високі частоти), виявлено, що у випадку порушення суцільності застосування класичної теорії обмежено довжиною хвиль, що перевищує 5 товщин балки. На основі різних теорій детально вивчено задачу про пружні пластини, що плавають на рідкому шарі. Описуються і обговорюються варіаційні формулювання без урахування порушення суцільності, розглядається відокремлення змінних в рівнянні Тимошенка.

Посилання

1. Cauchy, A. L. (1828). Sur l’equilibre et le mouvement d’une lame solide. Exercices Math., No. 3. pp. 245 327.
2. Poisson, S. D. (1829). Mémoire sur l’équilibre et le mouvement des corps élastiques. Mém. Acad. Roy. Sci., No. 8. pp. 357 570.
3. Selezov, I. T. (2000). Degenerated hyperbolic approximation of the wave theory of elastic plates. Ser. Operator Theory. Advances and Applications. Differential Operators and Related Topics. Proc. of Mark Krein Int. Conf. (Ukraine, Odessa, 18–22 August 1997). Ba-sel/Switzerland: Birkhauser, No. 117. P. 339–354.
4. Selezov, I. T. (2018). Development and application of the Cauchy-Poisson method to layer elastodynamics and the Timoshenko equation. Cybernetics and Systems Analysis, Vol. 54, No.3, pp. 434-442. doi: https://doi.org/10.1007/s10559-018-0044-x.
5. Grigolyuk, E. I. & Selezov, I. T. (1973). Nonclassical theories of vibrations of bars, plates and shells. Advances in Sciences and Engineering. Mechanics of Deforming Solids, Moscow: Acad. Sci. USSR.
6. Dunford, N. & Schwartz, J. T. (1963). Linear operators. Part II. Spectral theory. Adjoint opera-tors in Hilbert space. New York London: Interscience Publishers.
7. Selezov, I. T. & Korsunsky, S. V. (1991). Transformation of plane waves overmoving, or elas-tic bottom inhomogeneity. Rozprawy Hydrotechniczne, No. 54, pp. 49–54.
8. Timoshenko, S. (1956). Strength of materials. Part 2. Advanced theory and problems. Third Edition. D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton. New Jersey, Toronto, New York, London.
9. Achenbach, A. D., Keshava, S. P. & Herrmann, G. (1967). Free waves in a plate supported by a semi-infinite continuum. Trans. ASME, E34, N 4. pp. 397–404.
10. Yu, Y.-Y. (1960). Nonlinear flexural vibrations of sandwich plates. J. Aero/Space.Vol. 27, No. 4, pp. 272–282.
11. Lloid, J. R. & Miklowitz, J. (1962). Wave propagation in an elastic beam or plate on an elastic foundation. Trans. ASME, E29, No. 3. pp. 450–464.
12. Shubov, M. A. (2002). Asymptotic and Spectral Analysis of the Spatially Nonhomogeneous Timoshenko Beam Model. Mathematische Nachrichten, 241(1). pp. 125–162. doi: https://doi.org/10.1002/1522-2616(200207)241:1<125::AID-MANA125>3.0.CO;2-3.
13. Doetsch, G. (1956). Anleitung zum praktischen Gebrauch der Laplace-Transformation: R. Oldenbourg, Muenchen.
14. Krylov, V. I. & Skoblya, N. S. (1974). Methods of approximate Fourier transform and invert-ing Laplace transform. Moskow: Nauka (In Russian).
15. Barbashov, B. M. & Nesterenko, V. V. (1983). Continuous summetries in field theory. Fortsch. Phys, B 11, No. 10. pp. 535–567.
16. Nesterenko, V. V. (1989). Singular Lagrangians with higher derivatives. J. Phys. A. Math. Gen., Vol. 22, No. 10, pp. 1673–1687.
17. Nesterenko, V. V. (1993). To the theory of transverse vibrations of the Timoshenko beam. Appl. math and mekh., Vol. 57, No. 4. pp. 83–91 (In Russian).
18. Chervyakov, A. M. & Nesterenko, V. V. (1993). Is it possible to assign physical meaning to field theory with higher derivatives. Physical Review D., Vol. 48, No. 12. pp. 5811–5817.
19. Bakhvalov, N. S. & Eglit, M. E. (2005). On equations of higher order exactness describing vi-brations of thin plates (In Russian). Appl. math and mekh., Vol. 69 (4). pp. 656–675.

РІВНЯННЯ ТИМОШЕНКА, ПОРУШЕННЯ БЕЗПЕРЕРВНОСТІ І ДЕЯКІ ЗАСТОСУВАННЯ

Анотація

Посилання