ЗАДАЧА ПРО МІНІМІЗАЦІЮ ДИСПЕРСІЇ

Анотація

Робота пов’язана із задачею знаходження щільності ймовірності неперервної випадкової величини таким чином, щоб дисперсія або початкові моменти цієї величини були б найменшими. Розв’язана задача про мінімізацію дисперсії за умови, що щільність u x імовірності неперервної випадкової величини не перевищує задану функцію qx . Результатом роботи є отримання такої щільності: вона повинна дорівнювати заданій функції qx в деякому інтервалі , , поза цим інтервалом щільність повинна дорівнювати нулю. Числа α і β знаходяться із системи нелінійних рівнянь і входять у ці рівняння як границі визначених інтегралів. Також розглянуто задачу знаходження щільності ймовірності u x випадкової величини за умовами x u x dx u x dx u x q k min, 1, 0 , де q та k – задані додатні числа. Окреслені задачі належать до класу ляпуновських екстремальних задач, що містять інтеграли. Під час їх розв’язання було застосовано принцип мінімуму та метод множників Лагранжа. Як наслідок із теореми Вейєрштрасса витікає, що знайдені стаціонарні точки є точками найменших значень розглянутих функціоналів. Підставивши розв’язок задачі в екстремальну умову, отримана нерівність для початкових моментів будь-якої неперервної випадкової величини, яка обмежена зверху додатною сталою q . Підкреслено, що визначення параметрів у результаті мінімізації дозволить визначити більш точні оцінки в інших значеннях та досягти ефективного рівня оптимізації параметрів. Наведено результати розв’язку математичних задач. Прикладним застосуванням наведеної задачі є реалізація адаптивного прогнозування та статистичної ідентифікації нелінійних динамічних моделей фізичних та економічних процесів. Наукова новизна отриманого рішення полягає у тому, що вперше отримано систему, в якій математичне сподівання екстремальної випадкової величини розташовується посередині відрізка ,, завдяки чому, підставивши знайдену функцію в екстремальну умову, отримано найменше значення дисперсії для будь-якої неперервної випадкової величини.