ДИНАМІКА ПРУЖНОЇ СИСТЕМИ ІЗ ЗМІННИМИ ЗА ЧАСОМ ПАРАМЕТРАМИ ТА НЕЛІНІЙНОЮ ФУНКЦІЄЮ ДЕМПФУВАННЯ У РАЗІ НАЯВНОСТІ ЛОКАЛІЗОВАНОГО ЗОВНІШНЬОГО ЗБУРЕННЯ
Анотація
Актуальним завданням у математичній фізиці постає розробка аналітично-числових методик для вивчення динамічних характеристик нелінійних еластичних систем. Їх застосовують у різних сферах, таких як авіаційна промисловість, суднобудування, будівництво споруд, машинобудівна галузь, ракетобудування, а також у виробництві двигунів і промислового обладнання. Функція Дірака служить потужним математичним засобом, без якого неможливо уявити багато фізичних дисциплін. Вона є фундаментальним поняттям, що широко використовується в галузі фізики. Важливість δ-функції Дірака особливо підкреслена в математичній фізиці. Це стосується таких галузей, як електродинаміка, газова динаміка, оптика, акустика, квантова механіка, аеродинаміка та гідродинаміка. Отже, постає потреба у створенні дієвих гібридних наближених аналітико-числових алгоритмів дослідження, що ґрунтуються на передових асимптотичних методах. Мова про ті системи, чиї параметри зазнають змін у часі та у просторі під локалізованим зовнішнім впливом, який математично описується δ-функцією Дірака.Важливо підкреслити, що лише вкрай особливі випадки дозволяють отримати точні аналітичні розв’язки для таких задач. Останні, як правило, представлені диференціальними рівняннями сингулярного типу із змінними коефіцієнтами або їх системами. Ускладнення також виникають через присутність параметрів біля старшої похідної рівняння та нелінійної компоненти. Обговорюється аналітико-чисельний алгоритм розв’язку задачі нелінійної динаміки пружної системи із змінними у часі параметрами і нелінійною функцією демпфування з урахуванням впливу зовнішнього локалізованого збурення. Представлено результати розрахунків за запропонованим аналітичним алгоритмом із застосуванням комп’ютерної алгебри. Виконано порівняння у ключових моментах аналізу із даними прямого чисельного інтегрування основного диференціального рівняння досліджуваної задачі. Використовуючи програму комп’ютерної алгебри «Mathematica» побудовано графіки результатів обчислень і графіки порівняння з прямим чисельним інтегруванням.
Посилання
2. Крутій Ю.С. Точний розв’язок диференціального рівняння вимушених поздовжніх коливань стержня з довільними неперервними параметрами. Вісник Хмельницького національного університету. Технічні науки. 2015. Т. 6. № 231. С. 23–29.
3. Javidi M., Ahmad B. Numerical solution of fourth-order time-fractional partial differential equations with variable coefficients. Journal of Applied Analysis & Computation. 2015. Vol. 5. No. 1. P. 52–63. URL: https://doi.org/10.11948/2015005.
4. Reutskiy S.Y. A new semi-analytical collocation method for solving multi-term fractional partial differential equations with time variable coefficients. Applied Mathematical Modelling. 2017. Vol. 45. P. 238–254. https://doi.org/10.1016/j.apm.2016.12.029.
5. Hao Z., Park M., Lin G., Cai Z. Finite element method for two-sided fractional differential equations with variable coefficients: Galerkin approach. Journal of Scientific Computing. 2018. Vol. 79. No. 2. P. 700–717. https://doi.org/10.1007/s10915-018-0869-5.
6. Самойленко В., Самойленко Ю. Асимптотичний аналіз сингулярно збурених рівнянь інтегрованого типу зі змінними коефіцієнтами. Сучасні проблеми прикладної математики та комп’ютерних наук : збірник наукових праць, м. Львів. Львів, 2021. С. 161–164.
7. Baccouch M. The discontinuous Galerkin method for general nonlinear third-order ordinary differential equations. Applied Numerical Mathematics. 2021. Vol. 162. P. 331–350. https://doi.org/10.1016/j.apnum.2021.01.003.
8. Грищак В.З., Руденко Д.О. До аналізу нелінійних коливань пологих оболонок із функціонально-градієнтних матеріалів зі змінними у часі параметрами за наявності локалізованого збурення. Проблеми обчислювальної механіки і міцності конструкцій. 2025. Т. 1. № 38. С. 51–63. https://doi. org/10.15421/4224104.
9. Грищак В.З., Руденко Д.О. Hybrid asymptotic approach to solving nonlinear differential equations with variable coefficients in the presence of the δ-function. Computer Science and Applied Mathematics. 2024. No. 1. P. 5–10. https://doi.org/10.26661/2786-6254-2024-1-01.
10. Geer J.F., Andersen C.M. A hybrid perturbation – Galerkin technique for partial differential equations. Asymptotic Analysis and Numerical Solution of Partial Differential Equations. 1990. Vol. 130. P. 113–134.
11. Geer J.F., Andersen C.M. Resonant frequency calculations using a hybrid perturbation-Galerkin technique. Applied Mechanics Reviews. 1991. Vol. 44, no. 11S. P. S76–S88. https://doi.org/10.1115/1.3121376.
12. Gristchak V.Z., Dmitrijeva Y.M. A hybrid WKB-Galerkin method and its application. Technische mechanik. 1995. Vol. 15. No. 4. P. 281–294.
13. Грищак В.З. Гібридні асимптотичні методи та техніка їх застосування. Запоріжжя : Запорізький національний університет, 2009. 226 с.
14. Wolfram S. Mathematica: a system for doing mathematics by computer. 2nd ed. Reading, Mass : Addison- Wesley Pub. Co., 1991. 961 p.
ISSN 
