АНАЛІТИЧНЕ ДОСЛІДЖЕННЯ ЗАДАЧІ ФЕРМА – ТОРРІЧЕЛЛІ ДЛЯ ЧОТИРИКУТНИКІВ

Анотація

Однією із задач оптимізації в геометрії є пошук оптимальної точки Ферма – Торрічеллі, що забезпечує знаходження мінімальної суми відстаней до вершин заданого многокутника. Але, незважаючи на майже чотирьохсотлітню історію задачі, натепер знайдено універсальні геометричні розв’язки лише для випадків рівнозважених вершин трикутників і чотирикутників. Це істотно обмежує її застосовність у практичних сферах. Водночас дана задача має велике практичне значення для широкого спектра прикладних завдань. Вона є фундаментальною для оптимального розміщення критично важливих об’єктів, як-от переробні підприємства, великі склади, а також для значної оптимізації транспортних і логістичних схем тощо. Але в перелічених вище завданнях найчастіше розглядають умову, коли задані вихідні точки многокутників зазвичай мають різну значущість, або «вагу», що робить їх різнозваженими. Однак саме для різнозважених вершин досі відсутні навіть базові геометричні методи розв’язування, навіть для найпростіших випадків, що мають форму найпростіших фігур – трикутників і чотирикутників. Складаючи математичну модель задачі для пошуку координат оптимальної точки, ми приходимо до системи ірраціональних рівнянь та неявних функцій високого порядку, що ускладнює аналітичне дослідження. Задача значно спрощується для випадків із симетричними чотирикутниками (зокрема, із квадратом і ромбом), де симетрія дозволяє застосовувати більш прямі аналітичні підходи. У процесі даного дослідження нами було встановлено координати оптимальної точки Ферма – Торрічеллі як для різнозважених вершин чотирикутників, проведено аналіз впливу параметрів ромба й вагового коефіцієнта на положення оптимальної точки. Окрім того, встановлені умови, за яких вершина ромба може бути оптимальною точкою. Досліджені особливості зміни рівнозваженої і різнозваженої сум відстаней до вершин чотирикутника. Досліджений вплив вагового коефіцієнта на положення оптимальної точки. Проведено дослідження форми ліній рівня (для випадків чотирикутників представлені чотирицентровими еліпсами), що надало можливість визначити вплив відхилення від оптимальної точки на збільшення основних показників.