ЕВОЛЮЦІЯ РУХІВ ТВЕРДОГО ТІЛА ПІД ДІЄЮ НЕСТАЦІОНАРНИХ ВІДНОВЛЮЮЧОГО ТА ЗБУРЮЮЧОГО МОМЕНТІВ СИЛ

  • Д. Д. Лещенко Одеська державна академія будівництва та архітектури
  • Т. О. Козаченко Одеська державна академія будівництва та архітектури
Ключові слова: випадок Лагранжа, метод усереднення, опір середовища

Анотація

Аналіз обертальних рухів тіл навколо нерухомої точки важливий для розв’язування задач космонавтики, входу літальних апаратів в атмосферу, руху снаряда, що обертається, та гіроскопії. У багатьох випадках як породжувальний рух твердого тіла, що враховує основні моменти сил, які діють на тіло, може розглядатися рух у випадку Лагранжа. Нагадаємо, що в цьому випадку тіло має нерухому точку і знаходиться в полі сили ваги, причому центр мас тіла та нерухома точка розташовані на осі динамічної симетрії. У роботі досліджується рух динамічно симетричного твердого тіла навколо нерухомої точки під дією відновлюючого і збурюючого моментів сил, які повільно змінюються з часом. Крім того, величина відновлюючого моменту залежить від малого кута нутації. Ставиться задача дослідження асимптотичної поведінки розв’язків системи рівнянь руху твердого тіла при значеннях малого параметра, відмінних від нуля, на досить великому проміжку часу. Для аналізу нелінійної системи рівнянь руху застосовується метод усереднення. На відміну від процедури усереднення по руху Ейлера-Пуансо, усереднення по руху Лагранжа дає нам змогу розглядати рух із немалими за абсолютною величиною моментами зовнішніх сил як породжувальний рух. Використовуючи низку перетворень, розділяємо змінні на повільні та швидкі. Наведені умови можливості усереднення рівнянь руху за фазою кута нутації. Одержана усереднена система рівнянь першого наближення для повільних змінних. За допомогою метода усереднення порядок системи зменшується з шести до трьох, що робить систему автономною та полегшує розв’язання задачі. Як приклад запропонованої методики розглянуто збурений рух, близький до випадку Лагранжа, під дією зовнішнього середовища. Усереднена система проінтегрована чисельно при різних початкових умовах і параметрах задачі. Під дією дисипативного моменту тіло прагне до стійкого нижнього положення рівноваги. Досліджено новий клас обертальних рухів динамічно симетричного твердого тіла з урахуванням відновлюючого і збурюючого моментів сил.

Посилання

1. Суслов Г.К. Теоретическая механика. Москва; Ленинград : Гостехиздат, 1946. 655 с.
2. Chernousko F.L., Akulenko L.D., Leshchenko D.D. Evolution of Motions of a Rigid Body About its Center of Mass. Cham : Springer, 2017. 241 p.
3. Кузмак Г.Е. Динамика неуправляемого движения летательных аппаратов при входе в атмосферу. Москва : Наука, 1970. 348 с.
4. Aslanov V.S. Rigid Body Dynamics for Space Applications. Oxford : Butterworth-Heinemann, 2017. 400 p.
5. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Черноусько Ф.Л. Возмущенные движения твердого тела, близкие к случаю Лагранжа. Прикладная математика и механика. 1979. Т. 43. Вып. 5. C. 771–778.
6. Акуленко Л.Д., Зинкевич Я.С., Козаченко Т.А., Лещенко Д.Д. Эволюция движений твердого тела, близких к случаю Лагранжа, под действием нестационарного момента сил. Прикладная математика и механика. 2017. Т. 81. Вып. 2. С. 115–122.
7. Акуленко Л.Д., Лещенко Д.Д., Черноусько Ф.Л. Возмущенные движения твердого тела, близкие к регулярной прецессии. Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1986. № 5. С. 3–10.
8. Аkulenko L., Leshchenko D., Kushpil Т., Timoshenko I. Problems of еvolution of rotations of a rigid body under the action of perturbing moments. Multibody System Dynamics. 2001. Vol. 6, No. 1. P. 3–16.
9. Акуленко Л.Д., Козаченко Т.А., Лещенко Д.Д. Эволюция вращений твердого тела под действием восстанавливающего и управляющего моментов. Известия РАН. Теория и системы управления. 2002. № 6. С. 32–38.
10. Ershkov S.V., Leshchenko D.D. On a new type of solving procedure for Euler-Poisson equations (rigid body rotation over a fixed point). Acta Mechanica. 2019. Vol. 230, No. 3. P. 871–883.
11. Simpson H.C., Gunzburger M.D. A two time scale analysis of gyroscopic motion with friction. Zeitschrift fur angewandte Mathematik und Physik. 1986. Vol. 37. No. 6. P. 867–894.
12. Иващенко Б.П. О движении симметричного волчка с полостью, заполненной вязкой жидкостью. Докл. АН УССР. Сер. А. 1976. № 9. С. 794‒797.
13. Сазонов В.В., Сидоренко В.В. Возмущенные движения твердого тела, близкие к регулярным прецессиям Лагранжа. Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. Вып. 6. С. 951–957.
14. Sidorenko V.V. Capture and escape from resonance in the dynamics of the rigid body in viscous medium. Journal of Nonlinear Science. 1994. Vol. 4. P. 35–57.
15. Amer W. S. The dynamical motion of a gyroscope subjected to applied moments. Results in Physics. 2019. Vol. 12. P. 1429-1435.
16. Doroshin A.V. Analytical solutions for dynamics of dual-spin spacecraft and gyrostat-satellites under magnetic attitude control in omega-regimes. International Journal of Non-Linear Mechanics. 2017. Vol. 96. P. 64‒74.
17. Демин В.Г., Конкина Л.И. Новые методы в динамике твердого тела. Фрунзе: Илим, 1989. 182с.
18. Заболотнов Ю.М. Резонансные движения статически устойчивого волчка Лагранжа. Прикладная математика и механика. 2019. Т. 83. Вып. 4. C. 615–635.
19. Волосов В.М., Моргунов Б.И. Метод осреднения в теории нелинейных колебательных систем. Москва : Изд-во МГУ, 1971. 507 с.
20. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. Москва : Наука, 1971. 1108 с.
21. Кошляков В.Н. Задачи динамики твердого тела и прикладной теории гироскопов: аналитические методы. Москва : Наука, 1985. 288 с.
Опубліковано
2020-11-16
Як цитувати
Лещенко, Д. Д., & Козаченко, Т. О. (2020). ЕВОЛЮЦІЯ РУХІВ ТВЕРДОГО ТІЛА ПІД ДІЄЮ НЕСТАЦІОНАРНИХ ВІДНОВЛЮЮЧОГО ТА ЗБУРЮЮЧОГО МОМЕНТІВ СИЛ. Вісник Запорізького національного університету. Фізико-математичні науки, (1), 55-63. вилучено із http://journalsofznu.zp.ua/index.php/phys-math/article/view/1551