МЕТОД РОТЕ У КОМБІНАЦІЇ З МЕТОДОМ ДВОБІЧНИХ НАБЛИЖЕНЬ РОЗВ’ЯЗАННЯ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВИХ ЗАДАЧ ДЛЯ НАПІВЛІНІЙНОГО РІВНЯННЯ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ

Анотація

У роботі розглядається перша початково-крайова задача для напівлінійного рівняння теплопровідності. Задачі такого типу (з пошуком додатного розв’язку) часто виникають при математичному моделюванні процесів у хімічній кінетиці, теорії горіння, біології тощо. На основі модифікованого методу Роте вихідна нестаціонарна задача замінюється на кожному часовому шарі нелінійною крайовою задачею для рівняння з еліптичним оператором. Далі для знаходження додатного розв’язку цієї нелінійної крайової задачі будується метод послідовних наближень з двобічним характером збіжності. Для побудови такого методу та дослідження крайової задачі використовуються методи теорії нелінійних операторів у напівупорядкованих просторах. За допомогою методу функцій Гріна від нелінійної крайової задачі для еліптичного рівняння здійснюється перехід до еквівалентного інтегрального рівняння Гаммерштейна, яке розглядається як нелінійне операторне рівняння з гетеротонним оператором у просторі неперервних функцій, напівупорядкованому конусом невід’ємних функцій. Досліджуються властивості нелінійного інтегрального оператора, що входить у рівняння. Далі будуються сильно інваріантний конусний відрізок та дві ітераційні послідовності, які стартують з відповідних кінців сильно інваріантного конусного відрізка. Перша з цих послідовностей є монотонно зростаючою і наближає шуканий розв’язок знизу, а друга є монотонно спадною і наближає шуканий розв’язок зверху. Наведено умови існування спільної границі цих послідовностей, тобто умови єдиності розв’язку нелінійних крайових задач методу Роте на кожному часовому шарі. Отримано апріорну й апостеріорну оцінки похибки наближеного розв’язку задачі. Обчислювальний експеримент проведено для задачі з гетеротонною степеневою нелінійністю. Отримано наближений розв’язок нестаціонарної задачі у момент часу 0,1 двома способами: з кроком 0,1 та з кроком 0,05, що дало можливість підвищити порядок апроксимації методу на одиницю і уточнити наближений розв’язок за правилом Рунге. Результати обчислювального експерименту подано у вигляді рисунків та таблиць з числовими даними.