РОЗВ’ЯЗАННЯ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ФРЕДГОЛЬМА ІІ РОДУ З ВИКОРИСТАННЯМ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНОЇ ЕВОЛЮЦІЇ
Анотація
У статті розглядається лінійне інтегральне рівняння Фредгольма ІІ роду з невиродженим ядром. Наводиться огляд методів знаходження його наближених розв’язків. Вивчається випадок, коли за наближений розв’язок рівняння вибирається функція, що лінійно залежить від низки вільних параметрів. Оптимальні значення цих параметрів пропонується визначати з умови мінімуму відповідної норми інтегральної нев’язки, яка утворюється після підстановки вказаної функції в рівняння. У свою чергу, задача мінімізації норми нев’язки розглядається як оптимізаційна задача, і для її розв’язання використовується алгоритм диференціальної еволюції, призначений для пошуку глобального мінімуму (максимуму) функцій багатьох змінних. У цьому алгоритмі для популяції векторів, які представляють собою можливі розв’язки задачі мінімізації, моделюються базові процеси біологічної еволюції: схрещування, мутація та селекція, щоб сформувати наступну популяцію векторів, значення цільової функції (критерію мінімізації) яких будуть меншими, ніж у векторів попередньої популяції. Умовою закінчення алгоритму є досягнення заданого максимального числа популяцій. Координати вектора останньої популяції, який має найменше значення цільової функції, є оптимальними значеннями параметрів наближеного розв’язку. Алгоритм простий у програмній реалізації та застосуванні (містить мало параметрів налаштування), дозволяє використовувати різні норми інтегральної нев’язки (квадратичну, рівномірну, суму модулів значень нев’язки). Схема запропонованого алгоритму модифікована порівняно зі стандартною і не містить операції схрещування. Це дозволило спростити алгоритм без шкоди для точності отриманих результатів. Як показав обчислювальний експеримент, для знаходження оптимальних значень параметрів цілком достатньо операцій мутації та селекції. Алгоритм імплементований у системі Matlab. Розглядаються приклади знаходження наближених розв’язків з використанням розробленого алгоритму, який можна розглядати як додатковий інструмент до відомих проекційних методів розв’язання рівнянь Фредгольма.
Посилання
2. Федорчук В.А., Іванюк В.А., Верлань Д.А. Інтегральні рівняння в задачах математичного моделювання. Кам’янець-Подільський : Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2014. 144 с.
3. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.2. Москва : Наука, 1966. 640 с.
4. Манжиров А.В., Полянин А.Д. Методы решения интегральных уравнений. Справочник. Москва : Факториал, 1999. 272 с.
5. Вакал Л.П. Застосування чебишовської апроксимації при розв’язанні інтегральних рівнянь. Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2011. № 10. С. 78–84.
6. Верлань Д.А. Градиентный алгоритм билинейной аппроксимации ядер при решении интегральных уравнений Фредгольма ІІ-го рода. Электронное моделирование. 2013. Т. 35, № 1. С. 73–80.
7. Вакал Є., Вакал Ю., Вакал Л. Найкраща апроксимація ядра інтегрального рівняння Фредгольма з використанням генетичного алгоритму. Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Математика. Механіка. 2016. Вип. 2 (36). С. 17–22.
8. Ganji D. D., Afrouzi G. A., Hosseinzadeh H., Talarposhti R. A. Application of homotopy-perturbation method to the second kind of nonlinear integral equations. Physics Letters A. 2007. Vol. 371, N 1–2. P. 20–25.
9. Abbasbandy S. Numerical solutions of the integral equations: homotopy perturbation method and Adomian’s decomposition method. Applied Mathematics and Computation. 2006. Vol. 173, N 1. P. 493–500.
10. Babolian E., Biazar J., and A. R. Vahidi A.R. The decomposition method applied to systems of Fredholm integral equations of the second kind. Applied Mathematics and Computation. 2004. Vol. 148, N 2. P. 443–452.
11. Vakal L.P. Using genetic algorithm for solving boundary value problems. Journal of Automation and Information Sciences. 2015. Vol. 47, N 8. P. 52–62. URL: https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v47.i8.50.
12. Вакал Л.П., Вакал Є.С. Розв’язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь за алгоритмом диференціальної еволюції. Математичні машини і системи. 2020. № 1. С. 43–52. URL : https://doi.org/10.34121/1028-9763-2020-1-43-52.
13. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. Москва : Наука, 1970. 512 с.
14. Zemyan S.M. The classical theory of integral equations: a concise treatment. New York : Birkhauser Boston Inc., 2012. 344 p.
15. Каленчук-Порханова А.А., Вакал Л.П. Пакет программ аппроксимации функцій. Комп’ютерні засоби, мережі та системи. 2008. № 7. С. 32–38.
16. Vakal L.P. Solving uniform nonlinear approximation problem using continuous genetic algorithm. Journal of Automation and Information Sciences. 2016. Vol. 48, N 6. P. 49–59. URL : https://doi.org/10.1615/JAutomatInfScien.v48.i6.50.
17. Storn R., Price K. Differential evolution – a simple and efficient heuristic for global optimization over continuous spaces. Journal of Global Optimization. 1997. Vol. 11. P. 341–359.
18. Вакал Л.П., Вакал Є.С. Розв’язання перевизначеної системи трансцендентних рівнянь з використанням диференціальної еволюції. Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Технічні науки. 2017. Вип. 15. С. 24–30.
ISSN 
