ЗАСТОСУВАННЯ РІЗНИХ МОДЕЛЕЙ ДЛЯ ДОСЛІДЖЕННЯ ТОПОЛОГІЙ НА СКІНЧЕННИХ МНОЖИНАХ

Анотація

Дослідження топологічної структура на скінченній множині передбачає розв’язання задач підрахунку та перерахування топологій. Для цього топології моделюють графами, матрицями, булевими функціями, впорядкованими наборами невід’ємних цілих чисел – векторами топологій. Результати досліджень топологій на скінченній множині тісно пов’язані з цифровою обробкою зображень на основі скінченних наборів спостережень, тобто намаганням зрозуміти вміст зображення на основі поняття близькості точок. В цій роботі наведено стислий огляд методів дослідження топологій на n -елементній множині. При розв’язанні задач перерахування та підрахунку топологій виключну роль відіграють T0 -топології. Зручно говорити, що коли топологія має m відкритих множин, то вона належить до m -класу (або має вагу m ). Використання вектору топології дозволило дослідити всі T0 -топології з вагою m 2n1 (близькі до дискретної топології), описати всі T0 -топології на n -елементній множині з вагою 2n 1 2n m , які є узгодженими з близькими до дискретної топологіями на n 1???? -елементній множині. Порівняння отриманих результатів з результатами з робіт Stanley R.P. 1971, Kolli M. 2007 та 2014 років допомогло перерахувати класи топологій, в яких всі топології є узгодженими з близькими до дискретної топологіями, а також показати існування класів топологій з вагою m n n 5 2 4 ,13 2 5 , які не вичерпуються T0 -топологіями, узгодженими з близькими до дискретних на n 1 -елементній множині та двоїстими до них. При моделюванні топологій булевими функціями кожній T0 -топології ставиться у відповідність єдина кон’юнктивна нормальна форма певного вигляду (максимальна 2-КНФ). Використання 2-КНФ булевих функцій дозволило розробити методику розпізнавання взаємно двоїстих та самодвоїстих T0 -топологій та підрахунку кількості T0 -топологій із заданою вагою. В цій статті досліджуються T0 -топології на n -елементній множині з вагою 2n 1 2n m , які не є узгодженими з близькими до дискретної топології на n 1 -елементній множині. Для дослідження у якості моделі T0 -топології використовується вектор топології.