ЗАДАЧА ПРО ДІЮ ЗОСЕРЕДЖЕНОЇ СИЛИ НА ПРУЖНУ ОРТОТРОПНУ ПІВПЛОЩИНУ

Анотація

Розглядається перша основна гранична задача лінійної теорії пружності про дію зосередженої сили нормальної до поверхні пружної однорідної, суцільної ортотропної півплощини в умовах плоскої деформації. На нескінченності напруження прямують до нуля. Необхідно визначити напруження та переміщення у довільній точці півплощини. Розв’язок поставленої граничної задачі для ортотропної півплощини шукається у просторі трансформант одновимірного інтегрального перетворення Фур’є. Всі основні рівняння задачі та граничні умови піддаються прямому перетворенню одновимірного інтегрального перетворення Фур’є. Розв’язання сформульованої плоскої задачі базується на побудові трансформанти Фур’є функції напружень, яка задовольняє відповідному аналогу бігармонічного диференціального рівняння у просторі трансформант для випадку ортотропного матеріалу. Вигляд трансформанти функції напружень залежить від значень пружних сталих ортотропного матеріалу, а саме від значень коренів отриманого у просторі трансформант характеристичного рівняння. Розглянуто один із трьох можливих випадків. Трансформанти напружень і переміщень точок півплощини виражаються через трансформанту функції напружень, яка виражається через чотири допоміжні функції, пов’язані з навантаженнями на поверхні півплощини. З умов на межі знаходяться дві з чотирьох допоміжних функцій, а з умов на нескінченності встановлюється зв’язок між двома іншими. Проведено дослідження поведінки трансформант напружень на нескінченності, внаслідок якого отримано умови, що забезпечуються скінченність напружень і переміщень. Після застосування оберненого інтегрального перетворення Фур’є до отриманих виразів для трансформант визначаються істині значення напружень і переміщень у точках ортотропної півплощини. Наведено розв’язки для конкретних випадків і за побудованими графіками напружень і переміщень у півплощині проведено аналіз числових результатів, контроль виконання граничних умов. Отримані розрахунки свідчать про адекватність результатів і логічність застосування обраного методу для розв’язання поставленої задачі.