PERTURBATION OF A BOUNDARY-VALUE PROBLEM FOR A LYAPUNOV EQUATION IN A HILBERT SPACE

  • Ye. V. Panasenko Zaporizhzhia National University
  • A. I. Anokhin Zaporizhzhia National University
  • А. А. Guzhva Zaporizhzhia National University
  • М. М. Chmil Zaporizhzhia National University
Keywords: boundary-value problem, pseudoinverse operator, Lyapunov equation, Hilbert space

Abstract

This article is devoted to the boundary problem for a Lyapunov equation in a Hilbert space. A Lyapunov equation has abundance of applications, e.g. it is used in quantum mechanics, linear theories of Hamiltonian systems, games theory, optimal control theory, variations calculus and in a number of other supplements. The problem is investigated on the assumption that generating boundary-value problem does not have any solutions and the operator that describes linear boundary-value problem is noetherian. Set of solutions is based on pseudoinverse theory [8, 17], normally resolvable operators [2] and the Vishik-Lyusternik method. The condition of bifurcation solution of boundary-value problem for Lyapunov equation in critical case was found given that .

The solution  can be found for fixed . The paper is the continuation of authors’ research [14].It should be noted that boundary problems for Lyapunov and Riccati equations investigate as in finite-dimensional so in infinite-dimensional spaces in set of papers [3, 19-21]. In infinite-dimensional case such problems have been investigated insufficiently. As a rule, such equations investigate in regular case, when the problem has only one solution. In irregular case this equation was investigated (periodical case) in the works of Boichuk O.A. and Krivosheya S.A. [3]. In this paper a Lyapunov equation investigates in operator, matrix case or in the differential-operator case.

In the article [14] sufficient conditions of bifurcation solutions of boundary-value problem for the Lyapunov equation in the Gilbert space were obtained given that generating boundary-value problem has solutions. In the paper [12] a controllability of boundary-value problem for the Lyapunov equation in the Hilbert space was considered. Optimization of boundary-value problem for the Lyapunov equation in the Hilbert space was examined in [15]. Nonlinear boundary-value problem for the Lyapunov equation in space was considered in [16].

In this article an example of boundary-value problem for the countable system of such equations was provided. All necessary and sufficient conditions of the boundary-value problem solutions for the Lyapunov equation in the Gilbert space were found. Suggested approach can be employed in research papers dedicated to boundary-value problems for differential-operator equations of general type.

References

1. Беллман Р. Введение в теорию матриц. Москва: Наука, 1969. 368 с.
2. Бойчук А. А., Журавлёв В. Ф., Самойленко А. М. Обобщённо-обратные операторы и нётеровы краевые задачи. Київ: Ин-т мат-ки НАНУ, 1995. 320 с.
3. Бойчук О. А., Кривошея С. А. Критерій розв’язності матричних рівнянь типу Ляпунова. Український математичний журнал. 1998. Т. 50, № 8. С. 1021–1026.
4. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Москва: Наука, 1970. 534 с.
5. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. Москва: Наука, 1969. 527 с.
6. Ванько В. И., Ермошина О. В., Кувыркин Г. Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: учебник для вузов. Москва: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2006. 488 с.
7. Далецкий Ю. Л., Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. Москва: Наука, 1983. 384 с.
8. Журавлев В. Ф. Псевдообратный оператор к матричному в бесконечномерном гильбертовом пространстве. Нaуковий вісник Ужгородського університету. 2011. Вип. 22. С. 52–63.
9. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. Москва: Наука, 1967. 464 с.
10. Найфе А.Х. Методы возмущений. Москва: Мир, 1976. 454 с.
11. Панасенко Є. В., Покутний О. О. Крайові задачі для диференціальних рівнянь у банаховому просторі з необмеженим оператором в лінійній частині. Нелінійні коливання. 2013. Т. 16, № 4. С. 518–526.
12. Панасенко Є. В., Покутний О. О. Керованість крайових задач для рівнянь Ляпунова в просторі Гільберта. Вісник Запорізького національного університету. Фізико-математичні науки. 2015. № 3. С. 212–220.
13. Панасенко Є. В., Покутний О. О. Крайові задачі для рівняння Ляпунова у банаховому просторі. Нелінійні коливання. Київ: Ін-т математики НАНУ, 2016. Т. 19, № 2. С. 240–246.
14. Панасенко Є. В., Покутний О. О. Умова біфуркації розв’язків рівняння Ляпунова у просторі Гільберта. Нелінійні коливання. Київ: Ін-т математики НАНУ, 2017. Т. 20, № 3. С. 373–390.
15. Панасенко Є. В. Задача оптимізації крайової задачі для рівняння Ляпунова в просторі Гільберта. Вісник Запорізького національного університету. Фізико-математичні науки. 2017. № 2. С. 216–223.
16. Панасенко Є. В., Покутний О. О. Нелінійні крайові задачі для рівняння Ляпунова у прос-торі Lp. Нелінійні коливання. 2018. Т. 21, № 4. С. 523–536.
17. Покутний О. О. Узагальнено-обернений оператор в просторах Фреше, Банаха та Гільберта. Вісник Київського національного університету імені Т. Шевченка. Фізико-математичні науки. 2013. № 4. С. 158–161.
18. Чуйко С. М. Обобщенный оператор Грина нётеровой краевой задачи для матричного дифференциального уравнения. Известия высших учебных заведений. Математика. 2016. № 8. С. 74–83.
19. Чуйко С. М. О решении матричных уравнений Ляпунова. Вісник Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна. Математика, прикладна математика і механіка. 2014. № 1120. С. 85–94.
20. Bhatia Rajendra. A note on the Lyapunov equation. Linear algebra and its applications. 1997. № 259. Р. 71–76.
21. Datko R. Extending a theorem of a A. M. Lyapunov to Hilbert space. Journal of mathematical analysis and applications. 1970. № 32. Р. 610–616.
Published
2020-03-03
How to Cite
Panasenko, Y. V., Anokhin, A. I., GuzhvaА. А., & ChmilМ. М. (2020). PERTURBATION OF A BOUNDARY-VALUE PROBLEM FOR A LYAPUNOV EQUATION IN A HILBERT SPACE. Bulletin of Zaporizhzhia National University. Physical and Mathematical Sciences, (2), 141-149. Retrieved from http://journalsofznu.zp.ua/index.php/phys-math/article/view/264