ПРО ОДИН СПОСІБ ПОБУДОВИ Т-ПЕРІОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ РІВНЯНЬ ГІПЕРБОЛІЧНОГО ТИПУ

  • Г. П. Хома Тернопільський національний педагогічний університет імені Володимира Гнатюка
  • С. Г. Хома-Могильська Тернопільський національний економічний університет
  • В. З. Чорний Тернопільський національний педагогічний університет імені Володимира Гнатюка
Ключові слова: крайова -періодична задача, властивості оператора, побудова формули -періодичного розв’язку, рівняння гіперболічного типу, незбурене рівняння

Анотація

При дослідженні розв’язків квазілінійних рівнянь гіперболічного типу другого порядку асимптотичними методами Крилова-Боголюбова-Митропольського завжди доводилося враховувати нульові за просторовою змінною крайові умови шуканого розв’язку незбуреного квазілінійного рівняння. При розгляді ряду технічних проблем також поставало питання, щоб знайдені розв’язки були періодичними. У зв’язку з цим виникла проблема дослідження крайових -періодичних задач для гіперболічних рівнянь другого порядку, права частина яких містить – малий параметр. Цьому питанню присвячено багато робіт, як українських, так і закордонних математиків, основним недоліком яких, на нашу думку, є використання методу відшукання розв’язку за допомогою тригонометричного ряду Фур’є. У 1984 році вперше чеськими математиками О. Вейводою та М. Штедри було зазначено, що дану проблему можна вирішити аналітичним методом, не вимагаючи додаткових умов при диференціюванні рядів Фур’є і не розв’язуючи зчисленну множину звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. У цій роботі досліджується нова постановка задачі: як провести математичне моделювання розв’язку задачі , , ? Розв’язок вказаного рівняння складається із суми двох розв’язків: розв’язку незбуреного рівняння ( ) та розв’язку збуреного рівняння ( ), права частина якого містить -періодичну по функцію . Щоб провести математичне моделювання розв’язку незбуреного рівняння, нами у цій роботі вперше знайдено аналітичну формулу розв’язку крайової -періодичної задачі для незбуреного рівняння, використовуючи результати монографії Митропольського Ю. О., Хоми Г. П., Гром’яка М. І. [1]. На основі операторів та знайдено точну аналітичну формулу розв’язку крайової Т-періодичної задачі для неоднорідного гіперболічного рівняння другого порядку вигляду .

Посилання

1. Митропольский Ю. А., Хома Г. П., Громяк М. И. Асимптотические методы исследования квазиволновых уравнений гиперболического типа. Киев: Наук. думка, 1991. 232 с.
2. Митропольський Ю. О., Хома-Могильська С. Г. Умови існування розв’язків крайової періодичної задачі для неоднорідного лінійного гіперболічного рівняння другого порядку. I Український математичний журнал. 2005. Т. 57, № 7. С. 912–921.
3. Митропольський Ю. О., Хома Г. П., Хома-Могильська С. Г. Розв’язки крайової періодичної задачі для неоднорідного лінійного гіперболічного рівняння другого порядку. Доповіді НАН України. 2008. № 5. С. 30–36.
4. Gentile G., Mastropietro V., Procesi M. Periodic solution for completely resonant nonlinear wave equations with Dirichlet boundary conditions. Comm. Math. Phys. 2005. Vol. 256, № 2. P. 437–490.
5. Павленко В. Н., Петраш Т. А. Периодические решения уравнения колебаний струны с граничными условиями Неймана и Дирихле и разрывной нелинейностью. Труды Института математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 2. С. 199–204.
6. Рудаков И. А. Нетривиальные периодические решения нелинейного волнового уравнения с однородными граничными условиями. Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, № 10. С. 1392–1399.
7. Рудаков И. А. Периодические решения нелинейного волнового уравнения с граничными условиями Неймана и Дирихле. Известия вузов. Математика. 2007. Т. 537, № 2. С. 46–55.
8. Пташник Б. Й., Ільків В. С., Кміть І. Я., Поліщук В. М. Нелокальні крайові задачі для рівнянь із частинними похідними. Київ: Наукова думка, 2002. 416 с.
9. Пташник Б. Й., Репетило С. М. Задача Діріхле-Неймана для системи рівнянь із частинними похідними зі сталими коефіцієнтами. Прикладні проблеми механіки і математики. 2012. Вип. 10. С. 7–14.
10. Пташник Б. Й., Репетило С. М. Задача Діріхле-Неймана у смузі для гіперболічних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Математичні методи та фізико-механічні поля. 2013. Т. 56, № 3. С. 15–28.
11. Репетило С. М. Задача Діріхле-Неймана для лінійних гіперболічних рівнянь другого порядку у смузі. Вісник Національного університуту «Львівська політехніка». Фізико-математичні науки. 2013. Вип. 768, № 768. С. 26–33.
12. Rabinowitz P. Periodic solution of hyperbolic partial differential equations. Comm. Pure Appl. Math. 1967. Vol. 20, № 1. P. 145–205.
13. Вейвода О., Штедры М. Существование классических периодических решений волнового уравнения: Связь теоретико-числового характера периода и геометрических свойств решений. Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20, № 10. С. 1733–1739.
14. Хома Н. Г., Хома-Могильська С. Г., Хохлова Л. Г. Умови існування 2π-періодичного гладкого розв’язку квазілінійного рівняння гіперболічного типу. Вісник Запорізького національного університету: зб. наук. статей. Фізико-математичні науки. 2016. № 1. С. 257–264.
Опубліковано
2018-11-27
Як цитувати
Хома, Г. П., Хома-Могильська, С. Г., & Чорний, В. З. (2018). ПРО ОДИН СПОСІБ ПОБУДОВИ Т-ПЕРІОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ РІВНЯНЬ ГІПЕРБОЛІЧНОГО ТИПУ. Computer Science and Applied Mathematics, (1), 153-160. вилучено із http://journalsofznu.zp.ua/index.php/comp-science/article/view/1252