ПРО ОДИН СПОСІБ ПОБУДОВИ Т-ПЕРІОДИЧНИХ РОЗВ’ЯЗКІВ РІВНЯНЬ ГІПЕРБОЛІЧНОГО ТИПУ

Анотація

При дослідженні розв’язків квазілінійних рівнянь гіперболічного типу другого порядку асимптотичними методами Крилова-Боголюбова-Митропольського завжди доводилося враховувати нульові за просторовою змінною крайові умови шуканого розв’язку незбуреного квазілінійного рівняння. При розгляді ряду технічних проблем також поставало питання, щоб знайдені розв’язки були періодичними. У зв’язку з цим виникла проблема дослідження крайових -періодичних задач для гіперболічних рівнянь другого порядку, права частина яких містить – малий параметр. Цьому питанню присвячено багато робіт, як українських, так і закордонних математиків, основним недоліком яких, на нашу думку, є використання методу відшукання розв’язку за допомогою тригонометричного ряду Фур’є. У 1984 році вперше чеськими математиками О. Вейводою та М. Штедри було зазначено, що дану проблему можна вирішити аналітичним методом, не вимагаючи додаткових умов при диференціюванні рядів Фур’є і не розв’язуючи зчисленну множину звичайних диференціальних рівнянь другого порядку. У цій роботі досліджується нова постановка задачі: як провести математичне моделювання розв’язку задачі , , ? Розв’язок вказаного рівняння складається із суми двох розв’язків: розв’язку незбуреного рівняння ( ) та розв’язку збуреного рівняння ( ), права частина якого містить -періодичну по функцію . Щоб провести математичне моделювання розв’язку незбуреного рівняння, нами у цій роботі вперше знайдено аналітичну формулу розв’язку крайової -періодичної задачі для незбуреного рівняння, використовуючи результати монографії Митропольського Ю. О., Хоми Г. П., Гром’яка М. І. [1]. На основі операторів та знайдено точну аналітичну формулу розв’язку крайової Т-періодичної задачі для неоднорідного гіперболічного рівняння другого порядку вигляду .