НОВА ПОСТАНОВКА КРАЙОВОЇ 2П-ПЕРІОДИЧНОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ ГІПЕРБОЛІЧНОГО РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ В АСИМПТОТИЧНІЙ ТЕОРІЇ НЕЛІНІЙНИХ КОЛИВАНЬ

  • Н. Г. Хома Тернопільський національний економічний університет
  • С. Г. Хома–Могильська Тернопільський національний економічний університет
  • Л. Г. Хохлова Тернопільський національний педагогічний університет ім. Володимира Гнатюка
Ключові слова: крайова періодична задача, незбурене рівняння, властивості розв’язку, операторний метод

Анотація

До цього часу асимптотичними методами Крилова–Боголюбова–Митропольського–Мосеєнкова досліджувалися гіперболічні рівняння другого порядку з малим параметром  у правій частині при умові, коли незбурене ( ) рівняння має розв’язок у вигляді тригонометричного ряду Фур’є. Ці ж методи з припущенням мализни параметра  дозволили будувати наближений розв’язок крайової періодичної задачі для гіперболічного рівняння другого порядку, права частина якого містить малий параметр , ліва частина – утворена оператором Даламбера. У процесі дослідження логічно виникає запитання, при яких умовах незбурене ( ) рівняння має розв’язок у вигляді тригонометричного ряду Фур’є. Їх встановленню присвячена дана робота.

У першій частині роботи розглянуто незбурене рівняння, у лівій частині якого є оператор Даламбера, у правій частині – довільна функція . З використання операторного методу побудовано формальний розв’язок вказаного рівняння. Обґрунтовано ряд теорем і лем, які встановлюють умови існування класичного розв’язку крайової періодичної по змінній x задачі для незбуреного рівняння. При цьому визначено конкретний клас функцій , у якому вказана вище задача має класичний розв’язок. Виділено підклас функцій , у якому класичний розв’язок поставленої задачі є непар-ною функцією, а, отже, з врахуванням -періодичності розкладається у тригонометричний ряд Фур’є по синусах.

Отримані результати дають можливість побудувати наближений розв’язок квазілінійної крайової -періодичної по змінній  задачі для гіперболічного рівняння другого порядку, права частина якого є функція з малим параметром . У другій частині роботи наведено схему побудови наближеного розв’язку. Як нульове наближення взято зображення класичного розв’язку крайової -періодичної по змінній  задачі для незбуреного рівняння, встановленого в першій частині роботи.

Посилання

1. Митропольский Ю. А., Мосеенков Б. И. Асимптотические методы решения уравнений в частных производных. Киев: Вища шк., 1976. 590 с.
2. Митропольский Ю. А., Хома Г. П., Громяк М. И. Асимптотические методы исследования квазиволновых уравнений гиперболического типа. Киев: Наук. думка, 1991. 232 с.
3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. Москва: Наука, 1977. 735 с.
4. Фихтенгольц Г. М. Основы математического анализа. Москва: Гос. изд-во физ.-мат. лит-ры изд-ва «Наука», 1960. Т. II. 462 с.
5. Артемьев Н. А. Периодические решения одного класса уравнений в частных производных. Изв. АН СССР. Сер. мат. 1937. № 1. С. 15–50.
6. Чернятин В. А. К проблеме существования решений смешанной задачи для одномерного волнового уравнения. Вестн. Моск. ун-та, Сер. 1, Математика и механика. 1987. № 6. С. 7–16.
7. Полищук В. Н., Пташник Б. И. Периодическая краевая задача для линейных гиперболических уравнений и систем. Львов, 1982. 60 с.
8. Пташник Б. И. Некорректные граничные задачи для дифференциальных уравнений с частными производными. Киев: Наук. думка, 1984. 264 с.
9. Пташник Б. Й., Ільків В. С., Кміть І. Я., Поліщук В. М. Нелокальні крайові задачі для рівнянь із частинними похідними. Київ: Наук. думка, 2002. 416 с.
10. Митропольський Ю. О., Хома-Могильська С. Г. Умови існування розв’язків крайової періодичної задачі для неоднорідного лінійного гіперболічного рівняння другого по-рядку. I. Укр. мат. журн. 2005. Т. 57, № 7. С. 912–921.
Опубліковано
2020-02-28
Як цитувати
Хома, Н. Г., Хома–Могильська, С. Г., & Хохлова, Л. Г. (2020). НОВА ПОСТАНОВКА КРАЙОВОЇ 2П-ПЕРІОДИЧНОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ ГІПЕРБОЛІЧНОГО РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ В АСИМПТОТИЧНІЙ ТЕОРІЇ НЕЛІНІЙНИХ КОЛИВАНЬ. Computer Science and Applied Mathematics, (1), 89-97. вилучено із http://journalsofznu.zp.ua/index.php/comp-science/article/view/196