НОВА ПОСТАНОВКА КРАЙОВОЇ 2П-ПЕРІОДИЧНОЇ ЗАДАЧІ ДЛЯ ГІПЕРБОЛІЧНОГО РІВНЯННЯ ДРУГОГО ПОРЯДКУ В АСИМПТОТИЧНІЙ ТЕОРІЇ НЕЛІНІЙНИХ КОЛИВАНЬ

Анотація

До цього часу асимптотичними методами Крилова–Боголюбова–Митропольського–Мосеєнкова досліджувалися гіперболічні рівняння другого порядку з малим параметром  у правій частині при умові, коли незбурене ( ) рівняння має розв’язок у вигляді тригонометричного ряду Фур’є. Ці ж методи з припущенням мализни параметра  дозволили будувати наближений розв’язок крайової періодичної задачі для гіперболічного рівняння другого порядку, права частина якого містить малий параметр , ліва частина – утворена оператором Даламбера. У процесі дослідження логічно виникає запитання, при яких умовах незбурене ( ) рівняння має розв’язок у вигляді тригонометричного ряду Фур’є. Їх встановленню присвячена дана робота.

У першій частині роботи розглянуто незбурене рівняння, у лівій частині якого є оператор Даламбера, у правій частині – довільна функція . З використання операторного методу побудовано формальний розв’язок вказаного рівняння. Обґрунтовано ряд теорем і лем, які встановлюють умови існування класичного розв’язку крайової періодичної по змінній x задачі для незбуреного рівняння. При цьому визначено конкретний клас функцій , у якому вказана вище задача має класичний розв’язок. Виділено підклас функцій , у якому класичний розв’язок поставленої задачі є непар-ною функцією, а, отже, з врахуванням -періодичності розкладається у тригонометричний ряд Фур’є по синусах.

Отримані результати дають можливість побудувати наближений розв’язок квазілінійної крайової -періодичної по змінній  задачі для гіперболічного рівняння другого порядку, права частина якого є функція з малим параметром . У другій частині роботи наведено схему побудови наближеного розв’язку. Як нульове наближення взято зображення класичного розв’язку крайової -періодичної по змінній  задачі для незбуреного рівняння, встановленого в першій частині роботи.