ГІБРИДНИЙ АСИМПТОТИЧНИЙ ПІДХІД ДО РОЗВ’ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНИХ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИХ РІВНЯНЬ ЗІ ЗМІННИМИ КОЕФІЦІЄНТАМИ ЗА НАЯВНОСТІ δ-ФУНКЦІЇ

Анотація

Для інженерів-конструкторів у створенні нових методів проектування важливо, щоб існували аналітичні залежності для оцінки впливу параметрів і зовнішніх навантажень досліджуваної системи на її стабільність і динамічну поведінку. Це використовується у створенні неоднорідних конструкцій аерокосмічної техніки, будівельної промисловості, машинобудування. Вирішення великої кількості задач математичної фізики, що зводяться до необхідності розв’язання сингулярних диференціальних рівнянь зі змінними розривними коефіцієнтами, частіше за все базуються на застосуванні чисельних методів, які не дозволяють якісно проаналізувати отримані залежності. Особливістю роботи є розвиток гібридного ВКБ-Гальоркін асимптотичного підходу до розв’язку нелінійних сингулярних (із «малим» параметром при старшій похідній) диференціальних рівнянь зі змінними розривними коефіцієнтами за наявності δ-функції у правій частині зі створенням алгоритму наближеного аналітичного розв’язку, придатного до вирішення прикладних задач математичної фізики із застосуванням методу збурення, який дозволяє оцінити вплив нелінійної складової частини рівняння, та комп’ютерної алгебри. Як приклад розглядається нелінійне диференціальне рівняння типу Дюффінга. Особлива увага приділена впливу характеру зміни коефіцієнтів основного сингулярного диференціального рівняння на ефект наявності δ-функції при першій похідній. Надані чисельні результати аналітичних розв’язків (залежно від величини параметрів асимптотичного розвинення у двох наближеннях) і порівняння наближеного аналітичного розв’язку із прямим чисельним розв’язком досліджуваної задачі. Із використанням програми комп’ютерної алгебри «Mathematica» побудовані графіки результатів обчислень основного рівняння задачі за прямим чисельним інтегруванням і гібридним асимптотичним методом.