НЕЙРОМЕРЕЖЕВІ МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ПРЯМИХ І ОБЕРНЕНИХ КРАЙОВИХ ЗАДАЧ

Анотація

Розвиток наближених методів розв’язання диференціальних рівнянь є важливим для багатьох галузей науки та техніки. Чисельні методи дозволяють здійснювати розрахунки складних фізичних процесів. Ці методи необхідні для комп’ютерного моделювання та симуляції поведінки складних технічних систем. Класичні методи розв’язання диференціальних рівнянь (метод колокації, метод Гальоркіна, метод Рітца) потребують вибору базисних функцій для побудови наближеного розв’язку. Хибний вибір може призвести до некоректних результатів. Крім того, збільшення кількості базисних функцій для поліпшення точності може призвести до зростання обчислювальної складності, особливо для великих систем диференціальних рівнянь. Використання нейронних мереж із фізичною інформацією для розв’язання крайових задач має кілька переваг порівняно із класичними методами. По-перше, нейронні мережі дозволяють здійснювати апроксимацію складних фізичних процесів без потреби у виборі певних базисних функцій. По-друге, нейронні мережі здатні автоматично виявляти нелінійні залежності у даних, що робить їх ефективними для моделювання складних фізичних явищ. Крім того, нейронні мережі можуть адаптуватися до нових даних і змінювати умови задачі без необхідності перегляду аналітичних апроксимацій, що робить їх більш гнучкими та придатними для застосування у різних галузях фізики й інженерії. Нейромережеві методи також ефективно використовуються для розв’язання обернених задач. Вони дозволяють визначати параметри системи або властивості середовища на основі вимірювань або спостережень. Невідомі константи оберненої задачі, що підлягають визначенню, вводяться у число параметрів нейронної мережі й оптимізуються під час навчання. У роботі розроблено архітектури нейронних мереж із фізичною інформацією для розв’язання прямих та обернених задач рівняння Бюргерса. Продемонстровано збіжність на декількох числових прикладах із різними крайовими умовами та параметрами задач.