ЗГИН ПЛАСТИНИ З ПРУЖНОЮ КРУГОВОЮ ШАЙБОЮ ТА РАДІАЛЬНОЮ ТРІЩИНОЮ ВСЕРЕДИНІ ШАЙБИ ЗА СМУГОВОГО КОНТАКТУ ЇЇ БЕРЕГІВ

Анотація

У роботі розв’язано задачу про двовісний згин безмежної ізотропної пластини з пружною круговою шайбою з іншого матеріалу та наскрізною прямолінійною радіальною тріщиною у шайбі. Береги тріщини вільні від зовнішнього навантаження, а на межі пружної кругової шайби та пластини виконуються умови ідеального механічного контакту. Для розв’язування задачі припускається, що під дією рівномірно розподілених згинальних моментів на нескінченності береги тріщини контактують по області сталої ширини (смуговий контакт) на верхній основі пластини по всій довжині тріщин. Задача розв’язана за таких крайових умов: Pr1 = Pr2 ,M Mr1 r 2 = , w1 = w2 , ��wr1 � ��wr2 , �(r1r) � �(rr2) , �(r1�) � �(r2�) , ur(P1) = ur(P2) , u�(1P) � u�(P2) , на L(умови ідеального механічного контакту); P� � 0 , My hN1� � � , ��Ïx1y1 � 0 ,�Ïy y N h1� � �0,5 , � �v � �x � h ��� w �x �y �� �Ï 121 10�, � � 0.5 �1 � �1 � ��2 � , � � 1 � � 3 (умови смугового контакту берегів тріщини), � � h1 h , x1 ∈ L1 , де Mr – згинальний момент, Pr – узагальнена в сенсі Кірхгофа перерізувальна сила, σÏr і �Ïr� – компоненти тензора напружень у полярній системі координат, N – контактне зусилля між берегами тріщини, h − товщина пластини, h1 − висота контакту берегів тріщини, w – прогин пластини, σÏy1y1 і τÏx1y1 – компоненти тензора напружень у декартовій системі координат, vÏ – компонента вектора переміщень; � f � � f � � f � , знаками «+» і «–» позначені граничні значення функцій при прямуванні точки площини до тріщини, якщо y1 � �0 .Через контакт берегів тріщини розв’язок задачі шукатимемо у вигляді розв’язків двох взаємопов’язаних задач: задачі згину пластини, використовуючи теорію Кірхгофа – Лява, та плоскої задачі. З використанням методів теорії функцій комплексної змінної та комплексних потенціалів Колосова – Мусхелішвілі побудовано задачі лінійного спряження. Отримані задачі лінійного спряження розв’язані аналітично, та отримано систему сингулярних інтегральних рівнянь відносно стрибків переміщень у плоскій задачі та стрибків кутів повороту в задачі згину на берегах тріщини. Ця система сингулярних інтегральних рівнянь за допомогою методу механічних квадратур зведена до системи алгебраїчних рівнянь, яка розв’язана чисельно за допомогою методу Гауса. Проведено числовий аналіз задачі та побудовані графічні залежності контактних зусиль і коефіцієнтів інтенсивності зусиль і моментів за різних геометричних параметрів задачі та різних значень рівномірно розподілених згинальних моментів на нескінченності. У часткових випадках отримані результати зійшлися з відомими результатами, отриманими в наукових працях іншими авторами.