ІНТЕГРАЛЬНЕ ПРЕДСТАВЛЕННЯ РОЗРИВНОГО РОЗВ`ЯЗКУ ЗАДАЧІ, ЩО ОПИСУЄ УЗАГАЛЬНЕНИЙ ПЛОСКИЙ ЕЛЕКТРОПРУЖНИЙ СТАН П’ЄЗОЕЛЕКТРИЧНОЇ ПЛАСТИНИ

Анотація

Представлена робота є безпосереднім продовженням робіт [1, 2]. Дослідження напружено-деформованого стану твердих тіл, що деформуються та які містять дефекти, є важливою проблемою, тим більше в застосуванні до п’єзоелектричних тіл, які знаходять широке застосування в різних галузях науки і техніки. Водночас розв’язання відповідних крайових задач викликає серйозні математичні труднощі. В [1, 2] отримано інтегральні представлення розв’язків таких задач для анізотропних середовищ. До цього ж використовувався зв’язок між звичайними й узагальненими похідними регулярних узагальнених функцій. Ця методика застосовується і в цій роботі. Для розв’язання задач, пов’язаних із розрахунком подібних тіл, Г. Я. Поповим було запропоновано узагальнений метод інтегральних перетворень. Цей метод отримав розвиток у роботах Г. А. Мораря та інших дослідників. С. Краучем був запропонований метод розривних зсувів як варіант методу граничних елементів (МГЕ). Відповідні граничні елементи для анізотропних середовищ було отримано у попередніх роботах. При цьому використовувався зв’язок між звичайними й узагальненими похідними регулярних узагальнених функцій. Спираючись на співвідношення, що пов’язують похідні переміщень і потенціалу електричного поля, як узагальнені функції, зі звичайними похідними, було отримано систему лінійних диференційних рівнянь у частинних похідних. Праві частини рівнянь містять узагальнені функції, що залежать від стрибків переміщень, напружень, потенціалу електричного поля, електричної індукції. Розв’язок системи отримано у вигляді згортки матриці фундаментальних рішень зі стовпцем правих частин системи. Отримане інтегральне представлення може бути використано для зведення відповідних крайових задач до сильносингулярних інтегральних рівнянь, які можуть бути розв’язані методом граничних елементів.